[통계] 균등분포, 감마분포, 지수분포

 

[연속확률분포]

 

균등분포 : 모든 확률변수에 대해 균일한 확률 U(a,b)

감마분포 : 이벤트 n개가 발생할 때까지의 대기시간  G(a,b)

지수분포 : 이벤트 1개가 발생할 떄까지의 대기시간 Exp(θ)​

 

 

 

1.  균등분포

1) 균등분포 : U(a,b)으로 표현 

2) 균등분포의 평균 E(X) = a+b/2, 분산 Var(X)=(b-a)^2/12

 

예제 1) 어떤 사람이 9시와 10시 사이에 정류장에 도착한다. 이때 버스는 20분 간격으로 온다. 이 사람이 10분 안에 버스를 탈 확률을 구하라.

 

풀이 : 확률밀도함수 => 1/60

∫(10,20)1/60 dx +  ∫(30,40)1/60 dx +∫(50, 60)1/60 dx = 30/60 = 1/2

 

2.  감마분포

1) 감마분포 : G(a, b)로 표현

ex) 이벤트 여럿이 발생할 때까지의 발생 시간 => 이벤트가 하나이면 지수분포

 

2) 감마분포의 확률밀도함수

3) 감마분포의 평균 E(X) = ab, 분산 Var(X) = ab^2

 

 

3. 지수분포

 

1) 지수분포 : Exp(θ)​로 표현

ex) 어떤 부품이나 시스템이 처음으로 고장날 시간.

 

2) 지수분포의 확률밀도함수

 

3) 지수분포의 평균 E(X)=θ, 분산 Var(X)=θ^2

 

예제 1) 어떤 장난감의 수명이 평균 300시간인 지수분포를 따른다.  이 부품이 200시간 동안 작동했다. 앞으로 300시간 더 작동할 확률을 구하라.

 

풀이 : Exp(300) 인 지수분포 ---> f(x) = 1/300 * e^(-x/300)

 

f(300) = ∫(300, ∞) f(x) dx = e^-1 

 

=> 지수분포의 무기억성 P(X>a+b l X>b) = P(X>a)

 

 

++6/6 추가 

 

***포아송 분포<->감마분포

 

포아송 분포는 이산형 확률분포이고 감마분포는 연속형 확률분포

 

공통점 : 시간당 발생하는 이벤트와 관련된 분포

차이점 : 포아송분포 확률변수 X=단위 시간당 이벤트 발생횟수, 감마분포의 확률변수 X=특정 이벤트가 alpha번 발생하는데 걸리는 시간

 

***감마분포<->지수분포

 

공통점 : 시간당 발생하는 이벤트와 관련된 분포

차이점 : 감마분포에서 alpha=1인 경우 => 지수분포, 이때 theta=1/lamda는 이벤트 간의 평균 시간 간격.