[통계] 포아송분포, 기하분포, 음이항분포

[이산확률분포]

포아송분포 : 단위시간 안에 특정 사건이 몇 번 발생할 것인지를 표현 P(m)

기하분포 : 첫번째 성공이 일어날 때까지의 필요한 시행횟수를 표현 Geo(p)

음이항분포 : 주어진 성공횟수가 나올때 까지 베르누이시행을 반복하는 경우를 표현 NB(k,p)

1) 포아송분포 : P(m)으로 표현

ex) 하루동안 고장나는 기계의 수/ 주어진 시간 내 전화가 걸려오는 수

베르누이 분포(성공/실패) -> 포아송분포( n -> ∞, p->0)

2) 포아송 분포의 확률질량함수

3) 포아송 분포의 평균 E(X) = m, 분산 Var(X)=m

4) 포아송분포의 파라미터(확률분포의 모양 결정) >> m

-포아송 분포의 m이란 ? : 모수(모집단의 특성을 나타내는 수치), m은 근사화된 이항분포 B(n,p)의 평균인 np와 같다.

예제 1) 어느 학생이 평균적으로 1시간에 수학문제 1문제를 푼다. 이 학생이 푸는 문제 수가 포아송 분포를 따른다면, 1시간에 3문제를 풀 확률을 구하라. (e^-1 ≒0.368)

풀이 : 단위 시간당 발생하는 이벤트 =1

f(x)= e^-1*1^x/ x!

P(X=3)=f(3)=e^-1*1^3/3! =0.368/3

1) 기하분포 : Geo(p)로 표현

ex) 처음으로 기계가 고장날 확률 / 처음으로 시험에 합격할 확률

2) 기하분포의 분포 함수

3) 기하분포의 무기억성 : b회까지 나타난 실패는 그 이후로 나타날 성공에 영향을 미치지 못함.

P(X>a+b l X>b) = P(X>a)

4) 기하분포의 평균 E(X) = 1/p, 분산 Var(X)=q/p^2

예제 1) 장난감이 3m에 떨어져도 멀쩡하도록 설계되었다. 이때 한 어린이가 3m이상에서 장난감을 떨어뜨릴 확률이 0.3이다. 이 어린이가 장난감을 떨어뜨린 횟수를 X라고 할 때 10번째까진 멀쩡하다가 그 이후에 장난감이 부서질 확률을 구하라.

풀이 : Geo(0.3) 확률질량함수는 0.3*0.7^x-1

전체 확률-(10번째 장난감을 떨어뜨렸을 때 멀쩡할 확률)

1-P(X<=10)=1-(1-0.7^10)=0.7^10

1) 음이항분포 : NB(k, p)로 표현 k=1이면 기하분포

ex) 5번째 시합에서 이길 확률

2) 음이항분포의 평균 E(X)= k/p 분산 Var(X)=kq/p^2

예제 1) 3학년 7반이 2학기 비밀 선거를 실시하고 있다. 이때 1학기 투표율이 60%라고 할 때, 반 인원 20명 중 10명에게 투표지를 회수할 확률을 구하라.

풀이 : NB(10, 0.6)을 따르므로 확률질량함수는 19C9*0.6^10*0.4^10