[통계] 지수분포 (하버드 확률론 기초)

 

 

1. 지수분포(Exponential Distribution)

 

모수 : rate parameter λ

 

1) PDF(확률 밀도 함수): f(x) = λe^(-λx)  x>0

 

proof)

∫​(((((.    ((0, ​∞) ​​λe​−^(λx)​​dx=1

[-e^-(λx)+C] (0,  ​∞) = 1 - 0 = 1

 

2) CDF(누적 분포 함수):

F(x)=∫(​0,​x) ​​λe​−^(λt)​​dt  

=[-e^-(λt)+C] (0, x) = 1 -e^-(λx)

 

3) Let Y = λx, Then Y~Expo(1) 

P(Y<=x) = P(Y<=Y/λ)

=∫​(((((.    ((0,Y/λ/=∫​(((((.    ((0, ​∞) ​​λe​−^(λx)​​dx=1) ​​λe​−^(λt)​​dt

=[-e^-(λt)+C] (0, Y/  λ/=∫​(((((.    ((0, ​∞) ​​λe​−^(λx)​​dx =1) = -e^-(y) + 1 

 

=>  λ/=∫​(((((.    ((0, ​∞) ​​λe​−^(λx)​​dx =1가 1인 누적 분포 함수 식

 

E(Y) =∫​(((((.    (Y -Ye^(-Y)dy =[-Ye^(-Y)]+∫​(((((.    (Y e^(-y) = 1

X = Y /   λ 

 E(X) = 1 /   λ

Var(X) = 1/ λ^2

 

* 부정적분 공식 : ∫udv=uv−∫vdu

 

2. 지수분포의 무기억성( Memoryless Property)

 

P(X>= s+t | X>=s) = P(X>=t) 

 

proof)

P(X>=s) = 1 - P(X<=s) = e^λs

P(X>=s+t | X>=a) = P(X>= s+t) / P(X>=s) = e^λt = P(X>=t)

 

*조건부 기댓값 : E(X|X>a) = a + E(X-a |X>a)