[통계] 체비셰브 부등식/Chebyshev's Inequality (하버드 확률론 기초)

 

1. 체비셰브 부등식 :  P(|X-μ| >= a) <= Var(X) / a^2 

 

=> a = c*sd(X)이면, P(|X-μ| >=c*sd(X)) <= 1/c^2 

=> 확률 변수 X의 값이 평균으로부터 표준편차의 c배 이상 떨어질 확률이 1/c^2이하라는 것을 의미. 즉 확률 변수가 평균에서 멀리 떨어질 수록 표준편차의 c배 이상 떨어질 확률이 빠르게 낮아지며 즉 데이터가 평균 근처에 집중되어 있음을 나타냄.

 

proof) 

 

=>  P(|X-μ| >= a) =   P((X-μ)^2 >= a^2) 

 

by Markov's Inequality  / P(|X|>=a) <= E(|X|) / a) if a>0

 

=> P((X-μ)^2 >= a^2)  < = E(|X-μ)^2) / a^2

 

 

 E((X-μ)^2) = Var(X)이므로 

 

=> P((X-μ)^2 >= a^2)  < =Var(X) / a^2 

=>  P(|X-μ| >= a) < =Var(X) / a^2  성립.