[통계] 코시-슈바르츠 부등식과 상관계수 (하버드 확률론 기초)

 

 

1. 코시- 슈바르츠 부등식 (Cauchy - Schwartz Inequality)

 

E(XY)^2<=E(X​^^2​​)E(Y​2​​)​​​ 

 

proof)

 

1) E[(X−λY)2]>=0         -> 양수의 기댓값은 항상 0이상이므로 성립

2) E(X) - 2E(XY)λ + λ^2E(Y^2)     -> λ로 미분하여 최적의 λ찾기

3) λ = E[Y^2]/E[XY] ,  E[(X−λY)2]>=0 에 대입

4) E(XY)^2 <=E(X^2)E(Y^2) 성립

 

2. 상관계수

 

p(X, Y) = Cov(X, Y) / sigma(X)sigma(Y) 

 

= E( (X - E(X))(Y - E(Y)) /​ √​ E((X - E(x))^2)√​ E((Y-E(Y))^2)

X-E(X)= A, Y-E(Y)=B로 치환하면 E(AB) / √​ E(A^2)E(B^2) 의 식이 됌

 

곧 p(X,Y) = E(AB) / √​ E(A^2)E(B^2) = {p(X,Y)}^2 = {E(AB)}^2 / E(A^2)E(B^2)

 

코시-슈바르츠 부등식에 따르면 E(XY)^2<=E(X​^^2​​)E(Y​2​​)​​​이므로 p(X,Y) <=1 이 성립.