[통계] 마르코프 부등식/Markov's Inequality (하버드 확률론 기초)

 

마르코프 부등식 : P(|x| >= a) <= E(|x|) /a

 

어떠한 확률 변수 X가 a보다 클 확률은 기댓값을 a로 나눈 것보다 작다. 즉 상한값을 제공.

 

proof)

 

=> a(I|x|>=a) <= |x|, |x|>=a일 때 항상 참.

aE(I|x|>=a) <= E|x|, |x|>=a이면 1 아니면 0이므로, E(I|x|>=a) = P(|x|>=a)와 같음. (베르누이 분포의 기댓값은 성공확률인 p)

aP(|x|>=a) <= |x| 즉 P(|x|>=a) <= |x|/a 성립.

 

예시 ) 100명의 사람들 중에서 95% 이상의 사람들이 평균 나이보다 어린 경우가 있을 수 있는가? 

 

구하고자 하는 확률 = P(|x| <a). 

P(|x|<a) >= 1 - E(|x|)/a

평균나이보다 어릴 확률 >=  1 - 기댓값/ 평균나이

 

1-E(|x|)/a >= 0.95        -> 거짓