[통계] 균등 분포, 균등 분포와 역변환 샘플링 (하버드 확률론 기초)

 

 

1. 균등 분포

 

unif(a, b) 

 

PDF(확률질량 함수)  = {c if a<=x<=b

                                     0 else},

c = 1/b-a , why ? => ∫​a​b​​ f(x) dx =1 

 

CDF(확률밀도함수)  =  { 0,  if x<a

                                       x-a/b-a,  a<=x<=b}, => ∫​ax​xxxxxx.    bbbd x-a / b-a dx =1 

                                       1 , x>b }

= F(x) = ∫​aㅌ​x f(t)dt 

 

2. 균등 분포의 일반성, Unifrom is Universal

u~unif(0,1) 이 있고, 이에 대한 누적분포함수인 F가 있다. 1)(이때 F는 증가하고, 연속적이다.)

 

역변환 정의 : X = F-1(u), X는 F의 분포를 따른다. 

 

proof)

P(X<=x) = P(F-1(u) <= x) 

= P(u<=F(x))                        =>1)의 조건에 의하여 inverse를 취할 수 있다.

 

= F(x)                                    => u는 0에서 1 사이에서 존재하는 균등분포이므로, (F(x)-0)x(1/1-0)) = F(x) 

 

 

=> 따라서 누적분포함수 F에 따라, 다양한 분포를 만들어낼 수 있다.